RESTLONDON ru
» » Графики с неравенств модулями

Графики с неравенств модулями


Для начала — алгебраическое: И именно в этой двойственности где-то с исходным числом ничего не надо делать, а где-то придётся убрать какой-то там минус и заключается вся сложность для начинающих учеников.

Есть ещё геометрическое определение. Его тоже полезно знать, но обращаться к нему мы будем лишь в сложных и каких-то специальных случаях, где геометрический подход удобнее алгебраического спойлер: Если начертить картинку, то получится что-то типа этого: Графическое определение модуля Так или иначе, из определения модуля сразу следует его ключевое свойство: Этот факт будет красной нитью идти через всё наше сегодняшнее повествование.



модулями графики с неравенств


Метод интервалов Теперь разберёмся с неравенствами. Их существует великое множество, но наша задача сейчас — уметь решать хотя бы самые простые из них.

Те, которые сводятся к линейным неравенствам, а также к методу интервалов. Метод интервалов для неравенств особенно посмотрите видео ; Дробно-рациональные неравенства — весьма объёмный урок, но после него у вас вообще не останется каких-либо вопросов.

Требуется решить неравенство вида: Зато этот переход учитывает абсолютно все возможные проблемы: В этом вся фишка модуля. Давайте решим парочку задач: Отметим их решения на параллельных числовых прямых: Пересечение множеств Пересечением этих множеств и будет ответ. Это задание уже чуть посложнее. Для начала уединим модуль, перенеся второе слагаемое вправо: Но ещё раз напомню, что наша ключевая цель — грамотно решить неравенство и получить ответ.

Позже, когда вы в совершенстве освоите всё, о чём рассказано в этом уроке, можете сами извращаться как хотите: А мы для начала просто избавимся от двойного минуса слева: В этот раз выкладки будут посерьёзнее: Переходим к уравнению в первом неравенстве: Теперь разберёмся со вторым неравенством системы.


Уравнения и неравенства с модулем

Там придётся применить теорему Виета: Опять же, поскольку мы решаем систему неравенств, нас интересует пересечение заштрихованных множеств: Это и есть ответ. Уединить модуль, перенеся все другие слагаемые в противоположную часть неравенства.

Решить это неравенство, избавившись от модуля по описанной выше схеме. В какой-то момент потребуется перейти от двойного неравенства к системе из двух самостоятельных выражений, каждое из которых уже можно решать отдельно. Наконец, останется лишь пересечь решения этих двух самостоятельных выражений — и всё, мы получим окончательный ответ.



с неравенств модулями графики


Аналогичный алгоритм существует и для неравенств следующего типа, когда модуль больше функции. И тем не менее решаются такие задачи совсем по-другому.


Алгебра 10 класс

При этом варианты объединены квадратной скобкой, то есть перед нами совокупность двух требований. Обратите внимание ещё раз: Это принципиальное отличие от предыдущего пункта!

Вообще, с объединениями и пересечениями у многих учеников сплошная путаница, поэтому давайте разберёмся в этом вопросе раз и навсегда: Чтобы ещё проще было запомнить, просто пририсуйте к этим знакам ножки, чтобы получились бокалы вот только не надо сейчас обвинять меня в пропаганде наркомании и алкоголизма: Разница между пересечением и объединением множеств В переводе на русский это означает следующее: Поэтому пересечение множеств никогда не бывает больше множеств-исходников.

Да ничего — всё то же самое. Переходим от неравенства с модулем к совокупности двух неравенств: К сожалению, корни там будут не оч: Однако отмечать точки нужно в правильном порядке: И вот тут нас ждёт подстава.



Графики с неравенств модулями видео




От ответа на этот вопрос будет зависеть расстановка точек на числовых прямых и, собственно, ответ. Случай некрасивых корней Напомню, мы решаем совокупность, поэтому в ответ пойдёт объединение, а не пересечение заштрихованных множеств. Но вопросам сравнения будет посвящён отдельный и очень серьёзный урок.



с неравенств модулями графики


А мы идём дальше. Он работает во всех неравенствах, где слева и справа стоят гарантированно неотрицательные выражения: Никаких дополнительных ограничений при этом не возникнет. Прежде всего нас будет интересовать возведение в квадрат — он сжигает модули и корни: Но это совсем другая история это как бы иррациональные уравнения , поэтому не будем сейчас в это углубляться. Давайте лучше решим парочку задач: Сразу заметим две вещи: Точки на числовой прямой будут выколоты.

Обе стороны неравенства заведомо неотрицательны это свойство модуля: Следовательно, можем возвести обе части неравенства в квадрат, чтобы избавиться от модуля и решать задачу обычным методом интервалов: Дальше можно перенести всё вправо и расписать разность квадратов. Переходим от неравенства к уравнению: Избавление от знака модуля Напомню для особо упоротых: И закрашиваем области, требуемые в том же неравенстве. Ну вот и всё.

Делаем всё то же самое. Я не буду комментировать — просто посмотрите на последовательность действий. Ответ — целый интервал Ответ: Небольшое замечание насчёт последней задачи.



неравенств графики модулями с


Как точно подметил один мой ученик, оба подмодульных выражения в данном неравенстве заведомо положительны, поэтому знак модуля можно без ущерба для здоровья опустить.

Но это уже совсем другой уровень размышлений и другой подход — его условно можно назвать методом следствий.


Решение неравенств с модулями

О нём — в отдельном уроке. А сейчас перейдём к финальной части сегодняшнего урока и рассмотрим универсальный алгоритм, который работает всегда. Даже тогда, когда все предыдущие подходы оказались бессильны.: Метод перебора вариантов А что, если все эти приёмы не помогут? Если неравенство не сводится неотрицательным хвостам, если уединить модуль не получается, если вообще боль-печаль-тоска? Применительно к неравенствам с модулем выглядит он так: Выписать все подмодульные выражения и приравнять их к нулю; Решить полученные уравнения и отметить найденные корни на одной числовой прямой; Прямая разобьётся на несколько участков, внутри которого каждый модуль имеет фиксированный знак и потому однозначно раскрывается; Решить неравенство на каждом таком участке можно отдельно рассмотреть корни-границы, полученные в пункте 2 — для надёжности.

Результаты объединить — это и будет ответ.: Выписываем подмодульные выражения, приравниваем их к нулю и находим корни: Разбиение числовой прямой нулями подмодульных функций Рассмотрим каждый участок отдельно.



модулями графики с неравенств


Тогда оба подмодульных выражения отрицательны, и исходное неравенство перепишется так: Решений на этом участке нет. Отдельно рассмотрим пограничный случай: Просто подставим это число в исходное неравенство и проверим: И вновь частный случай: Подставляем в исходное неравенство: Мы нашли интервал, который и будет ответом. Решения неравенств с модулями обычно представляют собой сплошные множества на числовой прямой — интервалы и отрезки.



с неравенств модулями графики


Гораздо реже встречаются изолированные точки. И ещё реже случается так, что границ решения конец отрезка совпадает с границей рассматриваемого диапазона. Помните об этом, когда проверяете свои решения.






Комментарии пользователей

суппер )))) посотрите - непожелеете
18.08.2018 12:57

  • © 2008-2017
    restlondon.ru
    RSS | Sitemap